Geometria algebrica

La geometria algebrica � un campo della matematica, che, come il nome stesso lo suggerisce, unisce l'algebra astratta, soprattutto l'algebra commutativa, alla geometria. Può essere vista come lo studio delle soluzioni di equazioni algebriche. Quando vi � pi� di una variabile entrano in gioco considerazioni geometriche ed esse sono importanti per la comprensione del fenomeno.

Table of contents

1 Zeri simultanei di polinomi
2 Varietà affini
3 Anello delle coordinate di una varietà
4 Teoria proiettiva
5 Punto di vista attuale sulla teoria

Zeri simultanei di polinomi

In geometria algebrica gli oggetti geometrici studiati sono definiti come zeri di un certo numero di polinomi: si tratta dell'insieme degli zeri in comune o equivalentemente delle soluzioni di una o pi� equazioni polinomiali. Per esempio, la sfera di dimensione due nello spazio euclideo di dimensione 3 R³ � definita come l'insieme di punti (x, y, z) che verificano:

x² + y² + z² -1 = 0

Un cerchio "storto" in R³ � definito come l'insieme di punti (x, y, z) che verificano entrambe le equazioni:

x² + y² + z² -1 = 0

x + y + z = 0

Varietà affini

In generale, se F � un campo e S � un insieme di polinomi su F in n variabili, alora V(S) � definito come l'insieme dei punti di Fⁿ che annullano tutti i polinomi in S. Un insieme di questo tipo si chiama varietà affine; essa � dotata di una topologia naturale, la topologia di Zariski. Gli insiemi chiusi di questa topologia sono definiti anch'essi da polinomi. Per il teorema della base di Hilbert, ogni varietà può essere definita da un numero finito di polinomi: la varietà data da S � la stessa della varietà data dall'ideale generato da S e quest'ultimo � finitamente generato. Una varietà si dice irriducibile se non può essere scritta come unione di due chiusi propri. Una varietà � irriducibile se e solamente se può essere generata da un ideale primo dell'anello di polinomi. Questa corrispondenza tra ideali primi e varietà irriducibili � centrale in geometria algebrica.

Anello delle coordinate di una varietà

Ad ogni varietà V possiamo associare un anello commutativo, l'anello delle coordinate, costituito da tutte le funzioni polinomiali definite sulla varietà (funzioni razionali su Fⁿ con il denominatore che non si annulla sulla varietà). Gli ideali primi di questo anello corrispondono alle sottovarietà irriducibili di V; se F � algebricamente chiuso allora i punti di V corrispondono agli ideali massimali dell'anello delle coordinate (Nullstellensatz).

Teoria proiettiva

Invece di lavorare nello spazio affine Fⁿ, si lavora pi� spesso nello spazio proiettivo. Il vantaggio di questo approccio � che il numero di intersezioni può essere facilmente calcolato con il teorema di Bezout.

Punto di vista attuale sulla teoria

Nella visione moderna il rapporto tra varietà ed anello delle coordinate � invertito: si parte con un anello commutativo e si definisce la varietà corrispondente usando gli ideali primi. Gli ideali primi ottengono una struttura di spazio topologico, lo spettro dell\'anello. Nella formulazione generale questo porta agli schemi di Alexander Grothendieck.

Un'importante classe di varietà sono le varietà abeliane, varietà i cui punti formano un gruppo abeliano. Un esempio di queste sono le curve ellittiche che sono servite per la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat e per la crittografia alle curve ellittiche.

Mentre parte della geometria algebrica � interessata agli enunciati generali e astratti sulle varietà, sono stati sviluppati dei metodi per i calcoli su un insieme preciso di polinomi. Il pi� importante � la tecnica delle basi di Gröbner che sono alla base di tutta l'algebra computazionale.

La geometria algebrica � stata sviluppata largamente dai geometri italiani nella prima parte del ventesimo secolo. Il loro lavoro sulla geometria birazionale era profondo, ma non si poggiava su una base abbastanza rigorosa. L'algebra commutativa fu sviluppata, anch'essa all'inizio del ventesimo secolo da David Hilbert, Emmy Noether e altri avendo in mente delle applicazioni geometriche.

Negli anni 1930 e anni 1940 Oskar Zariski, André Weil e altri capirono la necessità di una geometria algebrica assiomatica su basi rigorose. Per un certo tempo furono usate diverse teorie.

Negli anni 1950 e anni 1960 Jean-Pierre Serre e Alexander Grothendieck rigettarono le fondamenta usando la teoria dei fasci. Dopo all'incirca il 1960 l'idea degli schemi fu raffinata, insieme ad un complesso apparato di tecniche omologiche. Dopo un decennio di rapidi sviluppi il campo si stabilizzò negli anni 1970 e vennero create delle applicazioni, sia alla teoria dei numeri sia a questioni pi� geometriche come varietà algebriche, singolarità e moduli.